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Principais Variáveis Aleatórias

Probabilidade Estatística MoedasO conceito informal de variáveis aleatórias é descrito como um número característico do resultado de um experimento, de acordo com o seguinte exemplo:

Vamos pensar no lançamento de duas moedas e na observação da quantidade de 'caras' obtido com elas. Ao realizar o experimento, observamos o resultado:

Ω = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}

Entretanto, se formos definir X como a quantidade de 'caras' observados, com os resultados ω1 = (Ca, Ca), ω2 =(Ca, Co), ω3 = (Co, Ca), ω4= (Co, Co), logo:

X(ω1) =2 X(ω2) = X(ω3) = 1 X(ω4) = 0

Observe o 2º exemplo:

Notar a face superior de um dado lançado. Então Ω = {1,2,3,4,5,6}

Logo, X(ω) = ω.

Definição de Variável Aleatória: X é a designação dada a uma variável aleatória dentro de um espaço de probabilidade ( Ω, A, P), tornando-se uma função real que é definida no espaço Ω, tal que o conjunto [ω Є Ω: X (ω) ≤ x] é um evento aleatório para todo x Є Γ; logo,

X: Ω → Γ

uma variável é aleatória se [X≤ x] Є A para todo x Є Γ

Exemplo para se diferenciar uma variável aleatória de uma variável não aleatória:

Variáveis Aleatórias e Não Aleatórias

Sejam Ω = {1,2,3,4} e A = {Ø, {1,2}, {3,4}, Ω}, considerando-se os conjuntos C = {1,2} e B = {1,3}. Logo, 1C é variável aleatória em (Ω, A), mas 1D não é.

Quando as variáveis aleatórias apresentam valores dentro de um conjuto finito ou infinito enumerável, elas são conhecidadas como discretas. Já aquelas que assumem valores em um intervalo de reta real são chamadas de contínuas.

Variáveis Aleatórias Discretas

De maneira geral, as variáveis aleatórias discretas são definidas por uma fução x, definida pelo espaço amostral Ω, assumindo valores num conjunto enumerável de pontos, existindo uma certa probabilidade.

A variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou numerável de valores, isto é, se existe um conjunto finito ou enumerável {x1, x2, …} C R tal que X(ω) Є {x1, x2,...} para todo ω Є Ω. A função p(xi) definida por

p(xi) = P(X=xi), i = 1,2,3,...

é chamada função de probabilidade de X.

Variáveis Aleatórias Discretas

Fórmula das Variáves Discretas

Variáveis Aleatórias Contínuas

A variável aleatória X é definida como contínua quando a função de distribuição Fx (x), também chamada de função de densidade de probabilidade, é contínua e tem as seguintes propriedades:

Variáveis Aleatórias Contínuas

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, nota-se que

Variáveis Contínuas

Levando-se em consideração que Fx (x) é contínua,

Fórmula Variáveis Contínuas

Variáveis Aleatórias Independentes

Ao se observar um espaço de probabilidade (A, P e Ω), existirá independência entre os eventos aleatórios A e B se P(A∩B) – P(A). P(B). Quando a probabilidade dos eventos é 0 ou 1, normalmente são indpendentes de qualquer outro, ou seja, na situação “se e somente se P(A) = 0 ou 1, A torna-se independente de si mesmo.

Entretanto, A e B não são independentes caso A∩B = Ø, exceto os casos em que um deles tenha probabilidade igual a zero.

Regra Geral: Toda família de eventos independentes é independente.

Variáveis Aleatórias Bidimensionais

Quando vamos descrever os resultados de um experimento aleatório, é muito comum se atribuir um mesmo ponto amostral dos valores de duas variáveis aleatórias. O objetivo é conhecer as probabilidades associadas a cada par de variáveis aleatórias.

Distribuição de Probabilidade

A partir do momento em que se torna possível o conhecimento de todos os valores de uma variável aleatória, incluindo suas respectivas probabilidades, construímos uma distribuição de probabilidades. Ela associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento. Para tanto, apresenta a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.

Existem duas fórmulas que se aplicam como regras na distribuição de probabilidades. Uma delas é de que a soma de todos os valores em uma distribuição de probabilidades deve ser igual a 1:

∑P(x) = 1, onde x toma todos os valores possíveis

E que a probabilidade de ocorrência de um evento deve ser maior do que zero e menor do que 1:

0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo x.

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